№9 Из чего на самом деле складывается погрешность расчёта

На прошлой неделе писала пост о сеточной сходимости — инструменте, без которого результаты расчёта остаются непроверенными. Один из читателей заметил:

А если геотехник не сделал анализ исходных данных и просто подставил значения из таблицы в программу, то погрешность может быть и более 40% даже при очень мелкой сетке с локальными сгущениями

Сначала написала ответ. Но потом поняла, раз поступают такие комментарии, значит тема важная, актуальная и надо ее подробнее раскрывать. Начнем с того что, да, если в исходных данных мы имеем ошибку, то как сетку не загущай, все равно результаты расчета будут неверные. И что тогда делать?

Начнем с того, что инженерный расчет, каким бы он ни был, — это прежде всего цепочка последовательных этапов. Звучит скучно. Чтобы было понятнее, предлагаю переложить механику расчетов на теорию надежности.

Любой расчет состоит из «элементов» — этапов. Каждый из них вносит свой вклад в общую неопределенность. Поэтому система этапов расчета выстраивается в последовательную цепочку. Тогда «отказ», то есть ошибка хотя бы на одном этапе, автоматически приведет к неверному результату.  

P.S. То, что будет описано ниже, применимо к самому широкому спектру расчетов — от фундамента под сарай до потребной мощности системы охлаждения в ядерном реакторе.

Этап 1. Исходные данные

Физико-механические характеристики грунта. Модуль деформации, сцепление, угол внутреннего трения, коэффициент Пуассона. Если эти цифры взяты не из реальных испытаний, а «из таблицы», если не учтена природная изменчивость, если не сделан анализ чувствительности — ошибка закладывается в фундамент расчёта. Дальше программа может считать идеально, но на выходе будет фикция.

Этап 2. Геометрия
Схематизация расчётной области. Как именно вы описали слои, линзы, включения. Насколько реальная трёхмерная задача сведена к плоской модели. Какие упрощения приняты. Здесь тоже можно заложить систематическую ошибку, которую не исправит ни одна сетка.

Этап 3. Построение модели
Контактные взаимодействия, интерфейсы «грунт – конструкция», поведение материала. Опционально: трение по свае, проскальзывание, раскрытие трещин. Если контакт задан некорректно, расчёт будет решать не ту задачу, о которой вы думаете.

Этап 4. Сетка
То, о чём мы говорили в прошлый раз. Размер элементов, локальное сгущение в зонах концентрации напряжений, сходимость. Грубая сетка может не увидеть градиентов, слишком мелкая — убить время счёта, породить «сингулярности». Компромисс без проверки — гадание на кофейной/чайной (тут кто что предпочитает) гуще.

Этап 5. Расчёт
Выбор численного метода, шага по времени, критериев сходимости, допустимой невязки. Для нелинейных задач это отдельный мир. Неправильно выбранный шаг может сгладить реальные пики напряжений или, наоборот, породить численный шум, который вы примете за физический эффект.

Этап 6. Интерпретация
Самое коварное. Вы смотрите на цветную картинку и должны понять: где реальный концентратор напряжений, а где сингулярность — бесконечность, порождённая математикой, а не физикой? Принять сингулярность за истину — переутяжелить конструкцию, заложить лишний бетон. Принять концентратор за сингулярность — пропустить реально опасную зону. Тут все ложиться на плечи опытного расчетчика, на его насмотренность.

А теперь представьте, что вы на каждом из шести этапов обеспечиваете достоверность с вероятностью 90 %. Это же очень круто, заявить, что ты уверен в точности исходных данных на 90% !. Верификация исходных данных — 0,9. Адекватная геометрия — 0,9. Корректная модель — 0,9. Хорошая сетка, проверили сходимость — 0,9. Правильный расчёт, верные настройки — 0,9. Верная интерпретация расчетчик со стажем — 0,9.

Теперь давайте оценим «Вероятность безотказной работы» нашего расчета: 

Перемножаем: 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 ≈ 0,53.

Пятьдесят три процента. Чуть выше орла или решки.

Это не строгая математика, конечно. Этапы не являются независимыми событиями в статистическом смысле, и вероятности, в данном случае, нельзя перемножать формально. Но как инженерная иллюстрация — она работает безотказно. Она показывает главное: погрешность накапливается. И если на каждом шаге вы допускаете «чуть-чуть», на выходе получается не «чуть-чуть», а «совсем другое». А если хотя бы на одном из этапов промах, то есть 0. то всё. Ни о каком корретном результате не может быть и речи.

Что с этим делать? Не доверять слепо ни одному этапу. Задавать вопросы исходным данным. Проверять сходимость сетки. Сравнивать расчёт с экспериментом (о валидации и верификации поговорим еще отдельно). Смотреть на картинку с результатами и думать: это физика или математика? А еще лучше (простите, снова термины из техники и приборостроения) – РЕЗЕРВИРОВАТЬ! То есть давать дополнительную надежность к каждому этапу. Перепроверять вручную, сравнивать с аналогами, декомпозировать, разбивать сложные задачи на подзадачи и т.д и тп. А когда в лаборатории стоит прибор, который даёт вам эти самые исходные данные — воспроизводимые, подтверждённые протоколом, без артефактов, — то хотя бы первый член в этом длинном произведении перестаёт быть переменной и становится константой. Близкой к единице.